Betragsoptimum

Mit dem Betragsoptimum wird an einen Regelkreis die Forderung gestellt, dass der Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises in einem möglichst weiten Bereich ideal sein soll.
Daraus ergibt sich die Forderung, dass der Betrag des Amplitudengangs des geschlossenen Regelkreises bis zu so hohen Frequenzen wie möglich auf dem Wert Eins und der Phasengang bei null sein soll. Dies garantiert ein geringes Überschwingen bei Sprunganregung und ein rasches Ausregeln von Störungen. Das Betragsoptimum ist für nicht schwingungsfähige Strecken geeignet.

Nach einem Beispiel anhand einer PI-Regelung wird eine Tabelle für die wichtigsten Regler und Strecken gegeben. Für die Herleitung wird auf die zum Schluss aufgeführte Literatur verwiesen.

Beispiel

Als Beispiel wird ein PI-Regler für eine nicht schwingungsfähige Strecke betrachtet. Die Strecke ist durch die Übertragungsfunktion, $$ G(s) = \frac{K_p}{1+s T_1} \cdot \frac{1}{1+s T_2} \cdot \frac{1}{1+s T_3} $$ gegeben und entspricht einer PT3-Strecke. Solch eine Strecke entspricht einem PT1-Glied mit einer Totzeit, die durch die zwei weiteren PT1-Glieder approximiert wird. Die nachfolgende Grafik zeigt den Frequenzgang und die Schrittantwort einer Strecke mit $T_1 = 3$, $T_2 = 0.6$, $T_3 = 0.5$ und $K_p = 2$.

Wenn die grösste Zeitkonstante $T_1$ um mindestens Faktor 5 grösser ist als die zweitgrösste Zeitkonstante $T_2$, können die "kleinen" Zeitkonstanten mit einer Summenzeitkonstante approximiert werden, $$ T_{\sigma} = \sum_{i=2}^{3} T_i. $$ Wenn neben dem Führungsverhalten auch die Störgrössenunterdrückung relevant ist, sollte $$ T_\sigma < T_1 \leq 4 T_\sigma $$ gelten. Wenn $ T_1 > 4 T_\sigma $ ist, sollte anstelle des Betragsoptimums das Symetrischeoptimum bei Strecken ohne Integrator verwendet werden.

Mit dem PI-Regler $$ C(s) = K_{PI} \left(1 + \frac{1}{T_N s}\right) = K_{PI} \frac{T_N s + 1}{T_N s} $$ folgt der offene Regelkreis $$ L(s) = C(s) G(s) = K_{PI} \frac{T_N s + 1}{T_N s} \cdot \frac{K_p}{1+s T_1} \cdot \frac{1}{1+s T_\sigma}. $$ Die dominante Zeitkonstante des offenen Regelkreises $T_1$ kann mit der Nachstellzeit des PI-Reglers $T_N = T_1$ kompensiert werden.
Für die Forderung, dass der Betrag des geschlossenen Regelkreises $ |G_{CL}(j\omega)| $ bis zu so hohen Frequenzen wie möglich dem Wert Eins entsprechen soll, wird der Betrag wie folgt gebildet: $$ \begin{align*} G_{CL}(j\omega) &= \frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)}\\ &= \frac{1}{1+j\omega\frac{T_1}{K_{PI}K_P} + (j\omega)^2\frac{T_1T_\sigma}{K_{PI}K_P}}\\ |G_{CL}(j\omega)|^2 &= \frac{1}{1+ \omega^2\big( \frac{T_1^2}{K_{PI}^2K_P^2} - \frac{2T_1T_\sigma}{K_{PI}K_P} \big) + \omega^4 \frac{T_1^2T_\sigma^2}{K_{PI}^2K_P^2}} \end{align*} $$ Damit der Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises in einem möglichst weiten Bereich beginnend von der Frequenz $\omega=0$ ideal ist, muss der für tiefe Frequenzen dominierende Term im Nenner zu null gemacht werden. Da für tiefe Frequenzen der Term mit $\omega^2$ dominierend ist, folgt die Forderung: $$ \frac{T_1^2}{K_{PI}^2K_P^2} = \frac{2T_1T_\sigma}{K_{PI}K_P} $$ Daraus folgt die PI-Verstärkung $K_{PI}$, $$ K_{PI} = \frac{T_1}{2 T_\sigma K_P}. $$

Tabelle

	Strecke	Regler
I-Regler für PT1-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{1+sT_1} $	$C(s) = \frac{1}{sT_{N}}$ $ T_{N} = 2K_S T_1 $
I-Regler für PTn-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{1+sT_\sigma}$ $ T_\sigma = \sum T_i$	$C(s) = \frac{1}{sT_{N}}$ $ T_{N} = 2K_PT_\sigma $
PI-Regler für PT2-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)}$ $ T_1 \geq T_2$	$C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)}{sT_{N}}$ $ T_{N} = T_1, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_2} $
PI-Regler für PTn-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_\sigma)}$ $ T_1 \gg T_\sigma = \sum_{i=2}^{n}T_i$	$C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)}{sT_{N}}$ $ T_{N} = T_1, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_\sigma} $
PID-Regler für PT3-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)(1+sT_3)}$ $ T_1 \geq T_2 \geq T_3$	$C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)(1+sT_V)}{sT_{N}}$ $ T_{N} = T_1, \quad T_V = T_2, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_3} $
PID-Regler für PT3-Strecke	$G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)(1+sT_\sigma)}$ $ T_1 \geq T_2 \gg T_\sigma = \sum_{i=3}^{n}T_i$	$C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)(1+sT_V)}{sT_{N}}$ $ T_{N} = T_1, \quad T_V = T_2, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_\sigma} $

PID-Umrechnung $$ C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)(1+sT_V)}{sT_{N}} \rightarrow \hat{K}_{P} \Big( 1 + \frac{1}{\hat{T}_{N} s} + s \hat{T}_{V} \Big) $$ $$ \hat{K}_{P} = K_C\frac{T_N+T_V}{T_N},\quad \hat{T}_{N} = T_N + T_V, \quad \hat{T}_{V} = \frac{K_C T_V}{\hat{K}_{P}} $$

Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen:

Schröder, Dierk, und Joachim Böcker, Hrsg. Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2021. https://doi.org/10.1007/978-3-662-62700-6.
Tabelle

	Strecke	Regler
I-Regler für PT1-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{1+sT_1} \)	\(C(s) = \frac{1}{sT_{N}}\) \( T_{N} = 2K_S T_1 \)
I-Regler für PTn-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{1+sT_\sigma}\) \( T_\sigma = \sum T_i\)	\(C(s) = \frac{1}{sT_{N}}\) \( T_{N} = 2K_PT_\sigma \)
PI-Regler für PT2-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)}\) \( T_1 \geq T_2\)	\(C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)}{sT_{N}}\) \( T_{N} = T_1, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_2} \)
PI-Regler für PTn-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_\sigma)}\) \( T_1 \gg T_\sigma = \sum_{i=2}^{n}T_i\)	\(C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)}{sT_{N}}\) \( T_{N} = T_1, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_\sigma} \)
PID-Regler für PT3-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)(1+sT_3)}\) \( T_1 \geq T_2 \geq T_3\)	\(C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)(1+sT_V)}{sT_{N}}\) \( T_{N} = T_1, \quad T_V = T_2, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_3} \)
PID-Regler für PT3-Strecke	\(G(s) = \frac{K_{S}}{(1+sT_1)(1+sT_2)(1+sT_\sigma)}\) \( T_1 \geq T_2 \gg T_\sigma = \sum_{i=3}^{n}T_i\)	\(C(s) = \frac{K_C(1+sT_N)(1+sT_V)}{sT_{N}}\) \( T_{N} = T_1, \quad T_V = T_2, \quad K_C = \frac{T_1}{2K_ST_\sigma} \)