Manuelles PID Tuning

In diesem Artikel wird die Methode von Cohen und Coon (1953) zur Einstellung der PID-Regelparameter vorgestellt. Nach der praktischen Schritt- für Schrittanleitung wird ein Beispiel mit echten Messwerten für das Einstellen eines PI-Reglers für einen Elektromotor gegeben.
Am Ende des Artikels ist ein online Calculator hinzugefügt.

Faustformeln von Cohen & Coon

Die Methode von Cohen und Coon basiert auf einem Prozessmodel eines PT1-Elements mit zusätzlicher Zeitverzögerung. $$ G(s) = \frac{K}{\tau s+1}\cdot e^{-sT_d} $$ Um das Prozessmodell zu identifizieren, wird ein Schrittversuch durchgeführt und die Parameter gemäss der nachfolgenden Abbildung identifiziert. 




    Schrittversuch




\(y_d\) Differenz im Systemausgang

\(u_d\) Differenz im Systemeingang

\(t_1\) Zeit zum erreichen von 28.3% von \(y_d\)

\(t_2\) Zeit zum erreichen von 63.2% von \(y_d\)




Um die Regelparameter der nachfolgenden Tabelle entnehmen zu können, müssen nun die Parameter vom Prozessmodell berechnet werden.

$$
 k_m = \frac{y_d}{u_d}, \quad \tau_m = \frac{3}{2}(t_2-t_1), \quad d_m = t_2 - \tau_m
$$





    
      

        P
        \(K_{P} = \frac{\tau_m}{k_m d_m} \Big( 1 + \frac{d_m}{3\tau_m} \Big) \)
        -
        -
      

      

        PI
        \(K_{P} = \frac{\tau_m}{k_m d_m} \Big( \frac{9}{10} + \frac{d_m}{12\tau_m} \Big) \)
        \(T_{N} = d_m \frac{30+3\frac{d_m}{\tau_m}}{9+20\frac{d_m}{\tau_m}} \)
        -
      

      

        PD
        \(K_{P} = \frac{\tau_m}{k_m d_m} \Big( \frac{5}{4} + \frac{d_m}{6\tau_m} \Big) \)
        -
        \(T_{V} = d_m \frac{6-2\frac{d_m}{\tau_m}}{22+3\frac{d_m}{\tau_m}} \)
      

      

        PID
        \(K_{P} = \frac{\tau_m}{k_m d_m} \Big( \frac{4}{3} + \frac{d_m}{4\tau_m} \Big) \)
        \(T_{N} = d_m \frac{32+6\frac{d_m}{\tau_m}}{13+8\frac{d_m}{\tau_m}} \)
        \(T_{V} = d_m \frac{4}{11+2\frac{d_m}{\tau_m}} \)
      

    
  


Die Regler haben die folgende Struktur.
$$
    PI = K_p\Big( 1 + \frac{1}{T_Ns}\Big)
$$

$$
    PD = K_p\Big( 1 + \frac{sT_V}{s\frac{T_V}{N}+1} \Big) \quad \text{bsp. } N=8
$$

$$
    PID = K_p\Big( 1 + \frac{1}{T_Ns} + \frac{sT_V}{s\frac{T_V}{N}+1} \Big) \quad \text{bsp. } N=8
$$

Das Umrechnen der Parameter auf eine andere Struktur kann gemäss dem Beitrag PID-Algorithmen erfolgen.







Beispiel

Die Methode von Cohen & Coon wird nun versuchsweise an einem DC-Motor getestet.
Das Ziel ist es, einenn PI-Geschwindigkeitsregler zu entwerfen.
Dazu wird zuerst im offenen Regelkreis ein Schrittversuch durchgeführt.



    Schrittversuch_Messung




Beim Schrittversuch wurde die Eingangsspannung am Motor von 1V auf 4.5V erhöht daher entspricht \(y_d\) 3.5V.
Der Schritt wurde absichtlich nicht von 0V auf 3.5V gewählt, um Haftreibungseffekte auszuschliessen, wenn der Läufer sich zu drehen beginnt.


Die Läufergeschwindigkeit änderte sich im Schrittversuch um \(y_d =\) 2.154rpm.
Die dazugehörenden Zeiten \(t_1=\)0.05s und \(t_2=\)0.075s wurden grafisch abgelesen.

Somit können die Systemparameter \(k_m\), \(\tau_m\) und \(d_m\) berechnet werden.



\( k_m = \frac{y_d}{u_d} = \frac{2.154}{3.5} = 0.6166,\)
\( \tau_m = \frac{3}{2}(t_2-t_1) = 0.0375,\)
\( d_m = t_2 - \tau_m = 0.0375\)


Die Parameter für den PI-Regler, 
$$
    PI = K_P\Big( 1 + \frac{1}{T_Ns}\Big)
$$
können nun anhand der obensten Tabelle berechnet werden.


\( K_{P} = \frac{\tau_m}{k_m d_m} \Big( \frac{9}{10} + \frac{d_m}{12\tau_m} \Big) = 1.595,\)
\( T_{N} = d_m \frac{30+3\frac{d_m}{\tau_m}}{9+20\frac{d_m}{\tau_m}} = 0.0427 \)


Nach der Berechnung der Reglerparameter wurde der PI-Regler getestet. Das Ergebnis ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.



    Resultat_PI_tuning


Es ist zu erkennen, dass die Läufergeschwindigkeit nun schön dem Sollwert folgt.





Online Calculator




  

    

      

      

        
          

            Variabel
            Beschrieb
            Wert
            Einheit
          

        
        
          

            
            \(u_d\)
            Differenz im Eingangssignal
            
              
              
            
            
          

          

          
          \(y_d\)
          Differenz im Ausgangssignal
            
              
              
            
            
          

          
          
\(t_1\)
          Zeit vom Schritt bis \(y_d(t)=28.3\,\%\, y_d(\infty) \)
          
            
            
          
          s
          

          
          
\(t_2\)
          Zeit vom Schritt bis \(y_d(t)=63.2\,\%\, y_d(\infty) \)
          
            
            
          
          s
          

        
      


      
      
    

  

  

  

    
  















Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen: