Zwei PID-Algorithmen

Die Verwendung von PID-Reglern ist in der Praxis weitverbreitet und sie machen einen beträchtlichen Anteil der in verschiedenen Branchen eingesetzten Regelungssysteme aus. Schätzungsweise liegen die PID-Regler bei mehr als 90 % der industriellen Regelungsanwendungen im Einsatz.
In der Praxis werden für die Berechnung der PID-Regelung unterschiedliche Algorithmen verwendet. Am populärsten sind die Parallel- und Idealform, welche in diesem Beitrag nacheinander vorgestellt werden, bevor gezeigt wird, wie die Parameter der beiden Formen zusammenhängen.

Paralleler PID-Regler

Der parallele PID-Regler wird im Zeitbereich wie folgt beschrieben, $$ u(t) = K_{P} e(t) + K_{I} \int_{0}^{t} e(\tau) d\tau + K_{D} \frac{d}{dt} e(t). $$ Die Abkürzungen \(K_{P}\), \(K_{I}\) und \(K_{D}\) stehen für die Proportional-, Integrations- und Differentiationsverstärkung. Der Regelfehler wird mit \(e(t)\) und die Stellgrösse \(u(t)\) abgekürzt. Die Übertragungsfunktion im Laplacebereich ist, $$ G_{PID}(s) = K_{P} + K_{I}\frac{1}{s} + K_{D} s. $$ Für eine praktische Implementierung muss aus Kausalitätsgründen zusätzlich ein Tiefpassfilter auf den D-Anteil angewandt werden. Die Übertragungsfunktion wird somit erweitert auf: $$ G_{PID}(s) = K_{P} + K_{I}\frac{1}{s} + K_{D} \frac{s}{s T_{F} + 1}. $$ Als Blockschaltbild folgt:
PID Regler Parallel

Idealer PID-Regler

Für den idealen PID-Regler gibt es viele Bezeichnungen, wie: 


    
    
  • Standard
    • 
    
    

    
  • Ideal
    • 
    
    

    
  • ISA
    • 
    
    

    
  • DIN 19226
    • 
    
    

    
  • usw.
    • 




Im Gegensatz zum parallelen PID-Regler geben die PID-Parameter beim idealen PID-Regler direkt Aufschluss über den Frequenzgang des PID-Reglers. Dafür können sie nicht mehr so einfach separiert werden wie beim parallelen PID-Regler.

Im Blockdiagramm wird ersichtlich, dass der \(K_{P}\) Wert nun einen Einfluss auf den D- und I-Anteil ausübt.




    PID Regler Ideal



Im Frequenzbereich ist der ideale PID-Regler gegeben durch:
$$
G_{PID}(s) = K_{P} \Big( 1 + \frac{1}{T_{N} s} + \frac{s T_{V} }{sT_{F} + 1} \Big).
$$

Die Koeffizienten \(T_{N}\), \(T_{V}\) und \(T_{F}\) beschreiben die Nachhol-, Vorhol- und Filterzeit, welche direkt im Frequenzbereich interpretiert, werden können.




    PID Regler Bode




Zum Teil wird in der Idealform, die Filterzeit \(T_{F}\) ersetzt durch ein Ableitungsfilter Teiler \(N\).
Die Übertragungsfunktion ändert sich damit zu:
$$
G_{PID}(s) = K_{P} \Big( 1 + \frac{1}{T_{N} s} + \frac{s T_{V} }{ \frac{T_{V}}{N}s + 1} \Big).
$$
Für den Ableitungsfilter Teiler wird entweder die Formel \(N = \frac{T_{V}}{T_{F}}\) verwendet oder ein \(N\) basierend auf der gewünschten Phasenanhebung gewählt. Dabei gilt es zu beachten, dass mit steigendem \(N\) der Phasengewinn und die Verstärkung des Messrauschens zunimmt.




    Lead Regler Bode








Umrechnung


Die Parameter der beiden PID-Formen können wie folgt ineinander umgerechnet werden:




    
      

        Ideal --> Parallel
        \(K_{P} = K_{P} \)
        \(K_{I} = \frac{K_{P}}{T_{N}} \)
        \(K_{D} = K_{P} T_{V}\)
        \(T_{F} = \frac{T_{V}}{N}\)
      

      

        Paralell --> Ideal
        \(K_{P} = K_{P} \)
        \(T_{N} = \frac{K_{P}}{K_{I}} \)
        \(T_{V} = \frac{K_D}{K_{P}} \)
        \(N = \frac{T_{V}}{T_F}\)
      

      

        Frequenz
        \( \omega_{T_{V}} = \frac{1}{T_{V}} [rad/s]\)
        \( \omega_{T_{N}} = \frac{1}{T_N} [rad/s]\)
        \( \omega_{T_{F}} = \frac{1}{T_F} [rad/s]\)
        
      

    
  







Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen:



    
  
  • 
    Technische Universität Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Skript Regelungstechnik, Version 5.8.2018, Seite 13. Link
  
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