Eulersche Formel
Leonhard Euler, ein Schweizer Mathematiker, wies 1748 einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen nach. Der Zusammenhang,
$$
e^{j \varphi} = \cos (\varphi) + j \sin(\varphi)
$$
gilt für alle \(\varphi \in \mathbb{R}\) und wird verwendet, um Komplexe Zahlen von der kartesischen Darstellung in die Polarform zu überführen.
Grafisch kann die Beziehung gemäss der nachfolgenden Abbildung verdeutlicht werden.
Herleitung
Die Eulersche Formel lässt sich über Taylorentwicklung von,
$$
e^{j\varphi} = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(j\varphi)^n }{n!} = 1 + j \varphi + \frac{(j\varphi)^2}{2!} + \frac{(j\varphi)^3}{3!} + \ldots
$$
herleiten. Unter Anbetracht, dass \(i^2=-1\) folgt,
$$\begin{gather}
j^0 = 1\\
j^1 = j\\ j^2=-1\\ j^3 = -j\\ j^4 = j^0 = 1
\end{gather}$$
und die Reihenentwicklung von \(e^{j\varphi}\) kann weiter vereinfacht werden,
$$
e^{j\varphi} = 1 + j \varphi - \frac{\varphi^2}{2!} - \frac{j\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \frac{j\varphi^5}{5!} -\ldots.
$$
Werden die Summanden gruppiert nach reellwertigen und imaginärwertigen Monomen so lässt sich die Reihenentwicklung in zwei Reihenentwicklungen aufteilen,
$$\begin{align}
e^{j\varphi} &= \big(1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} -\frac{\varphi^6}{6!} +\ldots
\big) &+
j\big(
\varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} - \frac{\varphi^7}{7!} + \ldots
\big)\\
&= \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{\varphi^{2n}}{2n!} &+ j \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{\varphi^{2n+1}}{(2n+1)!}.
\end{align}$$
Gemäss den Taylorentwicklungen von,
$$
\cos(\varphi) = \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{\varphi^{2n}}{2n!}
$$
und
$$
\sin(\varphi) = \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{\varphi^{2n+1}}{(2n+1)!}
$$
kann \(e^{j\varphi}\) wie folgt mit der Eulerschen Formel geschrieben werden,
$$
e^{j \varphi} = \cos (\varphi) + j \sin(\varphi).
$$
