Sweep
Dieser Beitrag widmet sich der mathematischen Beschreibung eines linearen Sweep Signal (Chirp) und zeigt, warum die intuitive Annahme $$ y(t) = \sin\Big(\omega(t)t\Big),\quad \omega(t) = \alpha t $$ nicht der gewünschten Augenblicksfrequenz \(\omega(t)\) entspricht. Zum Abschluss wird ein Beispiel gegeben mit einem linearen Sweep, der nach 5s die Beschleunigung der Kreisfrequenz stoppt und anschliessend die Kreisfrequenz konstant hält.Herleitung
Um die Gleichung für ein linear beschleunigtes Sinussignal herzuleiten, ist es wichtig zu erwähnen, dass das Argument der Sinusfunktion einem Winkel, respektive einer Winkelfunktion \(\phi(t)\) entspricht. $$ y(t) = sin(\phi(t)) $$ Die Augebnlicksfrequenz \(\omega(t)\) der Sinusfunktion entspricht der zeitlichen Ableitung der Winkelfunktion \(\phi(t)\). $$ \omega(t) = \frac{d}{dt}\phi(t) $$ Somit ist die Sinusfunktion in Abhängigkeit einer Frequenzfunktion mittels Integral beschrieben. $$ y(t) = \sin\Big( \int_0^t\omega(t)\,dt \Big) $$ Bei konstanter Kreisfrequenz \(\omega(t) = \omega\) folgt die bekannte Formel für eine Sinusfunktion mit frei wählbarer aber konstanter Kreisfrequenz. $$ y(t) = \sin \Big(\int_0^t\omega(t)\,dt \Big) = \sin(\omega\,t) $$ Bei einer linear beschleunigten Kreisfrequenz \(\omega(t)=\alpha t\) folgt, $$ y(t)=\sin\Big( \int_0^t \alpha t \,dt \Big) = \sin\Big( \alpha \frac{t^2}{2} \Big) $$ was um den Faktor 2 langsamer in Bezug auf die oft fälschlicherweise verwendete Formel \(y(t) = \sin\Big(\alpha\,t\,t \Big)\) ist. Neben der linear beschleunigten Kreisfrequenz werden nachfolgend die Formeln für weitere oft verwendete Frequenzmodulationen gegeben.Quadratische Beschleunigung \(\omega(t) = \alpha t^2\). $$ y(t)=sin\Big( \int_0^t \alpha t^2 \,dt \Big) = sin\Big( \alpha \frac{t^3}{3} \Big) $$ Exponentielle Beschleunigung \(\omega(t) = e^t\). $$ y(t)=sin\Big( \int_0^t e^t \,dt \Big) = -sin\Big( 1-e^t \Big) $$ Logarithmische Beschleunigung \(\omega(t)=\ln(t)\) $$ y(t)=sin\Big( \int_0^t \ln(t) \,dt \Big) = sin\Big( t(\ln(t)-1) \Big) $$
Beispiel
Als Beispiel soll eine linear beschleunigte Sinusfunktion dienen, die nach 5s die aktuelle Frequenz konstant hält. Die Kreisfrequenz startet bei \(\omega(0)=0 [rad/s]\) und endet nach 5s bei \(\omega(5)=2\pi [rad/s]\). $$ \begin{align} \omega(t)&=\frac{2\pi}{5}t &&\forall t\in[0,5]\\ \omega(t)&=2\pi &&\forall t\in (5,10] \end{align} $$ Die Antwort der Sinusfunktion lautet somit. $$ \begin{align} y(t)&=\sin\Big( \frac{\pi t^2}{5}\Big) &&\forall t\in[0,5]\\ y(t)&=\sin\Big(2\pi t + \underbrace{\int_0^5 \frac{2\pi}{5}t\,dt}_{\text{Offset}}\Big) &&\forall t\in (5,10] \end{align} $$
Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen: