Dezibel-Skala

In diesem Beitrag geht es um die in der Regelungstechnik häufig verwendete dB-Skala und deren Herleitung. Zuerst beginnt der Beitrag mit einer Tabelle und der Umrechnungsformel bevor die Herleitung gegeben wird.

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Umrechnung

$$ X_{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left|X \right| $$ $$ X = 10^{\frac{X_{dB}}{20}} $$

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Herleitung

Das Dezibel ist definitionsgemäss eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zwischen zweier Grössen und wird dimensionslos angegeben. Das Verhältnis zwischen dem Eingangssignal \(X\) und dem Ausgangssignal \(Y\) ist gegeben durch \(G=\frac{Y}{X}\). Wird \(G\) nun logarithmiert und gemäss dem Namen "dezi"-Bel mit 10 Multipliziert folgt. $$ G_{dB} = 10 \log_{10} \left| G \right| $$ Der Input \(X\) und der Output \(Y\) können beliebige Einheiten sein, das Verhältnis \(G , G_{dB}\) wird dimensionslos angegeben.
In der Regelungstechnik wird allerdings normalerweise der 10er-Logarithmus mit 20 anstatt mit 10 multipliziert. Dies kommt daher, dass es in der Regelungstechnik gängige Praxis ist, sich auf die Leistung eines Signals zu konzentrieren und nicht direkt auf die Amplitude.
Aus der Elektrotechnik folgt die Leistung für ein Signal: $$ P = \frac{U^2}{R} $$ Wird nun das Verhältnis der Leistungen gebildet, folgt: $$ G = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{\frac{U_{out}^2}{R}}{\frac{U_{in}^2}{R}} = \left( \frac{U_{out}}{U_{in}} \right)^2 $$ \(G \) wird nun in dB umgerechnet: $$\begin{align} G_{dB} &= 10 \log_{10} \left| \frac{U_{out}}{U_{in}} \right|^2 \\ &= 20 \log_{10} \left| \frac{U_{out}}{U_{in}} \right| \\ &= 20 \log_{10} \left| G \right| \end{align}$$ Zum veralgemeinern kann \(U_{out}\) und \(U_{in}\) durch \(X\) und \(Y\) ersetzt werden.

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Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen:

• Dezibelartikel auf mikrocontroller.net