Frequenzgang von Übertragungselementen

In diesem Artikel wird die Berechnung des Phasen- und Amplitudengangs von Übertragungsfunktionen nach einer kurzen Einführung über komplexe Zahlen anhand von zwei Beispielen gezeigt.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahl: $$ \begin{align*} z &= a + j \cdot b\\ &= r \cdot e^{j\varphi} \end{align*} $$ Betrag einer komplexen Zahl: $$ |z| = r = \sqrt{a^2 + b^2} $$ Phase einer komplexen Zahl: $$ \angle z = \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$ Division in Polarform von zwei komplexen Zahlen: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{j(\varphi_1 - \varphi_2)} $$ Laplace Variable: $$ s = \sigma + j \omega $$ Für die Analyse des Frequenzgangs wird $\sigma$ gleich 0 gesetzt. Die Laplace Variable wird dann zu: $s = j \omega$.
Im nächsten Abschnitt wird der Amplituden und Phasengang eines PT1 Elements berechnet.

PT1

Übertragungsfunktion des PT1 Elements: $$ PT_1 = \frac{z_1}{z_2} =\frac{K}{1 + Ts} = \frac{K}{1 + j\omega T}, \quad \sigma = 0 $$ In einem ersten Schritt wird der Zähler $z_1$ und Nenner $z_2$ in die Polarform überführt. $$ \begin{align*} z_1 &= K \cdot e^{j0} &= &K \angle 0 \\ z_2 &= \sqrt{1^2 + (\omega T)^2} \cdot e^{j \arctan(\frac{\omega T}{1})} &= &\sqrt{1 + \omega^2 T^2} \angle \arctan(\omega T) \end{align*} $$ Anschliessend können Zähler und Nenner dividiert werden, indem der Betrag von $z_1$ durch den Betrag von $z_2$ und die Phase von $z_1$ von $z_2$ subtrahiert werden. $$ \begin{align*} r &= \frac{r_1}{r_2} = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2 T^2}}\\ \varphi &= \varphi_1 - \varphi_2 = 0 - \arctan(\omega T) \end{align*} $$ Für die grafische Darstellung des Frequenzgans wird typischerweise der Betrag $r$ in dB angegeben und die x-Achse logarithmisch aufgetragen. Die Phase $\varphi$ wird in Grad angegeben und ebenfalls logarithmisch aufgetragen. $$ r_{dB} = 20 \cdot \log_{10}(r) $$

PID

In einem weiteren Beispiel wird der Frequenzgang eines PID-Reglers in Idealform angeschaut. Dazu wird der PID-Regler in drei Summanden aufgeteilt. $$ PIDT_1 = K_P \left(1 + \frac{1}{T_N s} + \frac{s T_V}{s T_F + 1} \right) = \frac{K_P}{1} + \frac{K_P}{T_N s} + \frac{K_P T_V s}{s T_F + 1} $$ Nun wird für jeden Summanden $e_{1,2,3}$ die polare Darstellung berechnet. $$ \begin{align*} e_1 &= K_P \angle 0\\ e_2 &= \frac{ K_P \angle 0 }{ \omega T_N \angle \arctan \left( \frac{\omega T}{0} \right)} = \frac{ K_P \angle 0 }{ \omega T_N \angle 90^\circ} = \frac{K_P}{\omega T_N} \angle -90\\ e_3 &= \frac{K_P T_V \omega \angle \arctan \left( \frac{K_P T_V \omega}{0} \right) }{\sqrt{1 + \omega^2 T_F^2} \angle \arctan \left( \frac{\omega T_F}{1} \right) } = \frac{K_P T_V \omega \angle 90^\circ}{\sqrt{1 + \omega^2 T_F^2} \angle \arctan(\omega T_F)} = \frac{K_P T_V \omega}{\sqrt{1 + \omega^2 T_F^2}} \angle 90^\circ - \arctan(\omega T_F) \end{align*} $$ Im Bodediagramm kann nun jeder Summand einzeln addiert werden. Möchte man lieber alles in einem Schritt berechnen, so empfiehlt es sich der PID-Regler gleichnamig zu machen und in einem Bruch darzustellen. $$ \begin{align*} PIDT_1 &= \frac{K_P (T_N s) (s T_F + 1)}{(T_N s)(s T_F + 1)} + \frac{K_P (s T_F + 1)}{(T_N s)(s T_F + 1)} + \frac{(K_P T_V s)(T_N s)}{(T_N s)(s T_F + 1)}\\ &=\frac{K_P+T_F K_P s+K_P T_N s+T_F K_P T_N s^2 + K_P T_N T_V s^2}{T_F T_N s^2 +T_N s} \end{align*} $$ Jetzt wird erneut der Zähler und Nenner in Polarform überführt. $$ \begin{align*} |z_1| &= \sqrt{[K_P - T_F T_N K_P \omega^2 - T_V T_N K_P \omega^2]^2 + [T_F K_P \omega + T_N K_P \omega]^2} \\ \angle z_1 &= \arctan \left( \frac{T_F K_P \omega + T_N K_P \omega}{K_P - T_F T_N K_P \omega^2 - T_V T_N K_P \omega^2} \right)\\ |z_2| &= \sqrt{[-T_F T_N \omega^2]^2 + [T_N \omega]^2} \\ \angle z_2 &= \arctan \left( \frac{T_N \omega}{-T_F T_N \omega^2} \right) \end{align*} $$ Der Frequenzgang kann nun anhand der nachstehenden Formel berechnet werden. $$ r = \frac{|z_1|}{|z_2|} $$ $$ \varphi = \angle z_1 - \angle z_2 $$ Da die Lösung analytisch aufwendig zu vereinfachen ist, wird auf nummerische Methoden verweisen. Als Beispiel steht ein Excel zum Herunterladen bereit (Download).

Für den interessierten Leser wird die nachfolgende Literatur empfohlen:

L. Papula, Mathematische Formelsammlung. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden, 2017. doi: 10.1007/978-3-658-16195-8.